Il 23 Novembre è la giornata Mondiale di Fibonacci.
23 novembre, ovvero 23 11. Nella notazione americana della scrittura di una data, il mese anticipa il giorno: november 23, cioè 11 23, e ancora 1 1 2 3, scomponendo le singole cifre. Insomma, da una data particolare otteniamo dunque una sequenza di numeri ognuno dei quali rappresenta la somma dei due che lo precedono (immaginando ci sia uno zero in testa).
Siamo abituati a pensare alla Natura e alla Matematica come strettamente correlate fra loro ? Forse non ci abbiamo mai pensato o forse non vediamo correlazione fra le due.
Eppure la Matematica regola con armonia e precisione tutte le forme di vita.
Leonardo Pisano, detto Fibonacci (figlio di Bonacci), nacque a Pisa nel 1170. Il padre era un importante mercante e rappresentante dei mercanti della repubblica marinara di Pisa. Grazie al suo lavoro viaggiò molto, portando il figlio con sé. Fu in Algeria che Fibonacci
studiò ed apprese il sistema numerico indo–arabico, che corrisponde all’attuale sistema numerico decimale, fondato sulle dieci cifre da 0 a 9. Nella sua opera più famosa, il «Liber Abaci», pubblicata nel 1202, introdusse il sistema numerico decimale e le indicazioni per eseguire le quattro operazioni che tutt’oggi apprendiamo a scuola.
POI… LA SUA STRAORDINARIA INTUIZIONE:
Pitagora credeva che tutto fosse misurabile e, dunque, che tutto fosse legato ai numeri. Credeva addirittura che i numeri fossero all’origine del mondo stesso: ciò che dà ragione di esistere al cosmo intero e ciò che ci permette di comprenderlo. Poi, nel 300 a.C., Euclide ci dà la definizione di sezione aurea: una proporzione geometrica che sembra rappresentare lo standard di riferimento per la perfezione, la grazia e l’armonia.
E, infine, arrivò Fibonacci. Egli si pose un enigma matematico basato sui conigli e lo risolse attraverso una successione di numeri, in cui il numero successivo è la somma dei numeri che lo precedono.
La successione di Fibonacci
Con questa regola semplice potremmo continuare all’infinito, non limitandoci alla sola scomposizione della data in questione:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987…fino all’infinito
dove ogni numero è ottenuto come somma dei due precedenti.
Simbolicamente la successione è definita dalle uguaglianze
F(0) =0
F(1) = 1
F(n) = F(n–1) +F(n–2), n>1
In questa successione ogni numero è la somma dei due che lo precedono. E’ una successione che possiede molte proprietà eleganti e significative. Fu Édouard Lucas, il grande esperto francese di fine ‘800 in giochi matematici, ad approfondirne per primo lo studio. Anche oggi continua ad essere studiata e nel 1963 un gruppo di matematici americani, in California, all’Università di Santa Clara, decise di fondare una Associazione degli Amici di Fibonacci. L’associazione pubblica una rivista, The Fibonacci Quarterly, in cui vengono raccolte tutte le novità sulla più celebre delle successioni.
Fibonacci scoprì tale successione nel 1223 grazie alla soluzione di un problema matematico proposto dall’Imperatore Federico di Svevia ad un torneo Matematico a Pisa
“Quante coppie di conigli si ottengono in un anno, salvo i casi di morte, supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?” 144
Per risolvere il quesito, Fibonacci realizzò una tavola in cui riportava l’aumento della famiglia di conigli e tracciava un monitoraggio del numero delle coppie che avrebbe avuto alla fine del mese.
La colonna finale mostra il numero totale dei conigli e si vede subito una curiosa ricorrenza: ogni numero è la somma dei due che precedono. E il quoziente tra ciascun termine della successione e il suo precedente si approssima a Φ sempre di più, a mano a mano che procediamo nella serie:
7
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,666
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615348
34/21 = 1,61904
55/34 = 1,61764
89/55 = 1,61818
144/89 = 1,61798
233/144 = 1,6180555
377/233 = 1,6180257
……………………..
Φ = 1,6180339887498……
La sequenza dei numeri di Fibonacci gode anche di altre proprietà aritmetiche.
Infatti, prendendo tre numeri consecutivi e moltiplicando il primo per il terzo e il secondo per se stesso, si ottengono sempre due numeri interi tra di loro consecutivi. Ad esempio prendiamo i numeri 5, 8 e 13. Se moltiplichiamo 5 x 13 otteniamo 65, mentre 8 x 8 fa 64, e ovviamente 65 e 64 sono numeri consecutivi.
Un’altra bizzarra proprietà: se sommiamo tra loro 10 termini consecutivi della successione di Fibonacci, otteniamo sempre un multiplo di 11.
E ancora:
il rapporto di un numero per il secondo che lo precede è sempre pari (tendente a) 2,618, che è il quadrato di 1,618;
il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede, per il numero che lo segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza;
se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il numero immediatamente
precedente il divisore; per esempio: 8934=2 con il resto di 21;
il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo numero
precedente è sempre un numero della successione;
il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci;
escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad un numero di una nuova serie, dà un’altra serie di Fibonacci (ad esempio: 3×4=12+1=13; 5×4=20+1=21; 8×4=32+2=34; 13×4=52+3=55; 21×4=84+5=89 )
Fino al diciannovesimo secolo non fu data molta importanza alla sequenza di Fibonacci ma, ad un certo punto si scoprì che poteva essere usata nel calcolo delle probabilità, nella sezione Aurea e nel triangolo aureo. Poi la Scienza applicata dimostrò che tale sequenza si trova in Natura
Una delle eterne domande che si sono sempre fatti i filosofi è: come può l’Uno diventare Molti (un po’ come con Dio, che è uno e trino, o con la nascita dell’universo)? Esiste un modo in cui le parti possono avere una relazione significativa con il tutto?
Senza addentrarci troppo in complicati calcoli matematici, per rimanere affascinati dalle implicazioni pratiche della proporzione aurea, basti pensare: quale mai potrebbe essere il comune denominatore tra un cavolfiore, un ananas, una pigna, la molecola del DNA e una
galassia? Ebbene, può sembrare assurdo, ma è la sequenza di Fibonacci.
“La matematica è l’alfabeto in cui Dio ha scritto l’Universo. La
filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma
non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e
conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua
matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure
geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”
(Galileo Galilei)
La sequenza di Fibonacci in Natura
In molti alberi, scegliendo una foglia su uno stelo e assegnandole il numero “0”, contando il numero di foglie fino ad arrivare a una perfettamente allineata con la foglia “0”, probabilmente si troverà un numero di Fibonacci. Anche i petali di moltissimi fiori sono un numero di Fibonacci. Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l’astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.
I numeri di Fibonacci sono presenti anche in altre piante come il girasole; difatti i piccoli fiori al centro del girasole (che è in effetti una infiorescenza) sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario. I pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci.
Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.
I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi come il Broccolo romanesco. Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole.
Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico”
La sequenza di Fibonacci nel corpo umano
La molecola di DNA misura in lunghezza 34 angstrom e in larghezza 21 angstrom. Questinumeri, 34 e 21, sono numeri nella serie di Fibonacci, e il loro rapporto 1,6190476 molto vicini al Phi , 1,6180339.trasformarle in segnali nervosi
La sequenza di Fibonacci nell’Arte e nella musica
Nell’Uomo Vitruviano Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea sulla base dei princìpi del De Architectura di Vitruvio che seguono esattamente i rapporti del numero aureo. Infatti Vitruvio scrive:
«Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si
sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un
compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo
un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi.”
Nella Gioconda (1503–1506, Museo del Louvre) il rapporto aureo è stato individuato nella disposizione del quadro, nelle dimensioni del viso, nell’area che va dal collo a sopra le mani e nell’area che inizia dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani. Infine molte strutture architettoniche, nella loro costruzione, rispettano la sezione aurea.
Nella Musica le proporzioni auree sono riscntrabili nelle Opere di Bach come “l’arte in fuga”, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven e nella ” Sagra delle Primavere ” di Stravinskij.
Ma anche la musica moderna si è interfacciata con la sequenza di Fibonacci.
Genesis, che hanno usato frequentemente la sequenz di Fibonacci nella costruzione armonico temporale del loro brani. “Firth of Fifth” è tutto basato su numeri aurei : ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute
Deep Purple nel brano “child in time”
Dream Theater nell’album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci.
La proporzione divina
La storia della sezione aurea è difficile da svelare. Nonostante il suo utilizzo nell’antico Egitto e nella tradizione pitagorica, la prima definizione che troviamo viene da Euclide (325-265 a.C.) che la esprime come
divisione di una linea in rapporto estremo e medio.
Il primo trattato su questa materia di chiama “Divina Proportione” del monaco Luca Pacioli (1445-1517) – libro illustrato nientemeno che da Leonardo Da Vinci. Secondo la tradizione, fu Da Vinci a coniare il termine “sezione aurea” (dal latino “sectio aurea”); in ogni caso, il primo esempio pubblicato di questa frase si trova in “Pure Elementary Mathematics” di Martin Ohm (1835).
Esistono molti nomi per questa sezione misteriosa. Viene chiamata alternativamente rapporto, proporzione, numero o sezione aurea o divina.
La notazione matematica del numero aureo varia dal simbolo greco “tau”, τ, che significa il “taglio”, o più comunemente “phi”, dal greco φ, ovvero la prima lettera del nome dello scultore greco Fidia, “Phidias”, che lo aveva utilizzato nel tempio Partenone di Atene.
La Sezione Aurea è il punto di divisione di un segmento in modo tale che il rapporto tra le due parti, la più piccola con la più grande, sia uguale al rapporto della parte più grande con tutto il segmento. Tale rapporto è un numero irrazionale le cui mirabili proprietà matematiche erano conosciute dall’antichità più estrema. Poichè indica uno sviluppo di crescita costante, espresso con una spirale che si sviluppa all’infinito, era considerato il sigillo del principio creativo, che si osserva riprodotto infinite volte in natura, dalla disposizione dei germogli e dei semi nelle piante ala spirale delle conchiglie dei molluschi alla conformazione dei cristalli, ed era venerato come espressione diretta del potere divino. La gran parte degli edifici sacri esibiscono in qualche modo nelle loro proporzioni la Sezione Aurea.
La proporzione aurea fu molto utilizzata dagli antichi Greci come rapporto armonico nelle costruzioni architettoniche, le ritroviamo nelle piramide egizie e nel Partenone nell’Acropoli Ateniese, e nelle rappresentazioni scultoree, per esempio nelle proporzioni delle Cariatidi che reggono l’Eretteo. Il rapporto aureo fu largamente ripreso anche nel Rinascimento: le dimensioni della Monnalisa, di Leonardo da Vinci, sono in rapporto aureo. E ancora fino ai giorni nostri, nell’architettura moderna: il Palazzo di Vetro delle Nazione Unite ha proporzioni auree. La sequenza di Fibonacci è abbondantemente rappresentata anche in musica, ad esempio nelle “fughe” di Johann Sebastian Bach, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert; l’esempio più elevato di applicazione su vasta scala degli stilemi improntati alla proporzione aurea è dato dalla Sagra della Primavera di Strawinski.
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell’uomo la conferma dell’esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l’uomo, l’universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte che si ripeteva all’infinito tra la stessa parte più grande e la più piccola, e così di seguito attraverso ulteriori suddivisioni. Diversi filosofi ed artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell’ambiente antropico quale “canone di bellezza”; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di “aureo” o “divino”.
Approfondiremo l’argomento della sezione Aurea in altri articoli.
